Como hemos dicho en los dos artículos anteriores era urgente encontrar una demostración absoluta de la consistencia y completud de la Teoría aritmética propuesta por Peano (de la que ya hemos hablado) . El modo en el que Gödel se enfrenta a esta cuestión se relaciona directamente con la falaz “Paradoja richardiana” pero evitando el carácter falaz en que incurría Richard. Veamos cómo lo hizo.
El mérito de este chaval de 25 años, de apellido ilustre es prácticamente inefable, y no sé yo si eso será por las implicaciones de su teorema. Pero se le ha reconocido como el descubridor de una de las verdades matemáticas más incontetables de todos los tiempos; intentaremos entenderla.
Gödel consigue construir un método capaz de hablar acerca de las mátemáticas pero dentro de la propia aritmética. Veamos, alguna vez habréis oído decir que la matemática es un lenguaje, se habla del lenguaje matemático. Bien, la cuestión es ¿Qué se puede expresar con ese lenguaje? Ciertamente nos estamos preguntando por la capacidad expresiva del mismo (concepto que ya conocéis del primer artículo) Si yo digo «1+2=3» estoy expresando una idea con un lenguaje matemático. ¿Pero puedo expresar la propiedad conmunatativa de la suma con este lenguaje? Al decir que «Sumar ‘1+2’ es lo mismo que sumar ‘2+1′» estoy expresando una idea acerca de las matemáticas, pero no la expreso matemáticamente sino en simple castellano ¿Sería posible expresarla con el propio lenguaje matemático? ¿Será posible usar la matemática para hablar de propiedades de la matemática misma? Esta es la auténtica cuestión y no porque tengamos un gusto fetichista por las matemáticas sino porque el auténtico problema aquí, era encontrar una demostración absoluta de la consistencia de la aritmética de Peano; y una demostración absoluta es aquella demostración que no depende de ningún otro sistema (Precisamente Peano había demostrado la consistencia de la geometría euclidiana pero desde la aritmética de Peano) Gödel fue el primero al que se le ocurrio una forma de hablar de la aritmética de Peano pero con la misma aritmética de Peano; ¿Y qué es lo que había que poder decir? Pues que «La aritmética de Peano es consistente»… Valla, algunos empezarán a recordar a Russell y sus metaconjuntos. Para hacer esto Gödel inventó un procedimiento que posteriormente se convertirá en una herramienta fundamental de la criptografía, no lo vamos a explicar; se ha llamado gödelización y en el enlace está bien explicado.
Sigamos una breve exposición del Teorema de Gödel. Debemos partir de la aritmética de Peano; que como sabemos tiene una serie de axiomas de los que se deriva lógicamente toda (bueno esto no lo sabemos todavía) o casi toda la matemática. El proceso de Gödelización es utilizado aquí para traducir las ideas contenidas en esos axiomas (que estaban expresadas en lenguaje natural). A cualquier idea que no sea un axioma y que esté expresada matemáticamente con ese proceso de Gödelización le llamaremos fórmula; y puede o no derivarse lógicamente de los axiomas; si conseguimos encontrar una vía para llegar de los axiomas hasta esa misma fórmula o su negación, habremos encontrado una demostración de dicha formula (o de su negación); así de simple. (Pongamos que tenemos la fórmula «2+1=3» queremos demostrarlo, bueno imaginamos que tenemos como axiomas que «1+1=2» y «1+1+1=3» ¿A alguien se le ocurre una demostración?). Bueno, empecemos, intentaré no volveros locos, pero no prometo nada; vamos a dividir la demostración en cinco partes, a ver si así se hace menos indigesta:
I. Gödel construye una proposición G que dice de si misma que no es demostrable; podemos escribirlo así G= “Para toda fórmula x, x no es una demostración de G” (prescindiremos del tema de la gödelización, no es necesario para entenderlo).
II. Nos preguntamos si G es demostrable. Veamos para que G sea demostrable tiene que haber una fórmula que haga derivar logicamente G de los axiomas de la aritmética de Peano, esto es, que haga derivar de los axiomas, y ahora sustituyo sólo «G» por lo que dice G, que «Para toda fórmula x, x no es una demostración de G» bueno, esto no puede ser; porque si admitiéramos la existencia de dicha fórmula admitiríamos la demostración de una fórmula falsa y eso sería una inconsistencia, cosa que precisamente estábamos llamados a evitar. Parece pues que G no tiene demostración. Pero es que si demuestro que no existe ninguna fórmula que sea demostración de G esa misma demostración de que no existe ninguna de estas fórmulas será una fórmula, obviamente, algo así como «no existe demostración de G» pues bien, esa fórmula será la demostración de que «Para toda fórmula x, x no es una demostración de G» es decir, y vuelvo a sustitur, será una demostración de G. Entonces llegamos a la inconstatable verdad aunque sea contraria a la razón de que para que G no sea demostrable es preciso que G sea demostrable; esto nos lleva a una situación insostenible parecida pero no igual a la que ya comentamos en el artículo anterior provocada por nuestro amigo Russell. Es decir en realidad no es posible encontrar un procedimiento para decidir si G es o no demostrable, luego G es indecidible (ya explicamos la indecidibilidad en el artículo uno).
III. Nos preguntamos sobre la verdad o falsedad de G; Si lo pensamos un poco, no es que sea fácil, podemos darnos cuenta de que G es intuitivamente verdadera, precisamente porque dice de si misma que no es demostrable y en realidad no es demostrable, ya lo hemos visto, no podemos encontrar un sistema para demostrar G, y ello es así aunque no podamos demostrar que no sea demostrable… en fin que esta situación verdaderamente extraña ha permitido a algunos, y en concreto a Penrose considerar que la inteligencia humana, que es capaz de intuír la verdad de una fórmula como G, es muy superior a las herramientas lógicas más avanzadas, dado que estas no pueden dar cuenta de la demostrabilidad de tal fórmula (no os he explicado, y eso quedará para un posterior artículo, la relación entre verdad y derivabilidad lógica).
IV. Nos preguntamos si toda fórmula verdadera es demostrable dentro de la aritmética de Peano; es decir, nos preguntamos por la Completud de la aritmética. Resulta que G es una fórmula verdadera que no es demostrable dentro de la aritmética, ya lo hemos visto, luego no toda fórmula verdadera es demostrable (al menos G no lo es); por tanto la noción de verdad no es coincidente con la de demostrabilidad lógica en un sistema con la capacidad expresiva de la aritmética de Peano; tenemos que, si la aritmética es consistente, entonces es incompleta (es importante el condicional del principio, «si la aritmética es consistente» si volvemos al párrafo II veremos que descartamos una de las opciones porque sino crearíamos una inconsistencia, pero es que a lo mejor resulta que no podemos descartar esa opción). Además Gödel demuestra que la Aritmética de Peano y cualquier otro sistema que tenga la suficiente capacidad expresiva para decir G es esencialmente incompleto, porque aunque añadamos la proposición G como axioma, es reproducible la misma situación, con un procedimiento parecido.
V. Intentamos una demostración absoluta de la consistencia de la Aritmética de Peano. Acabamos de afirmar que “si la Aritmética es consistente entonces es incompleta” ello es una proposición metamatemática expresable, a su vez, dentro de la Aritmética, y por tanto podemos preguntarnos por su demostrabilidad. Pero necesitamos saber primero si efectivamente «la aritmética es consistente», llamaremos A a la formula que dice que «la aritmética es consistente». Además podemos aceptar que el «…. es incompleta» se puede sustituir por «existe al menos una fórmula verdadera de la aritmética que no es demostrable» lo cual, aceptenme esto sin más, es equivalente a G. Por tanto podemos traducir esta proposición por la siguiente, «Si A entonces G» Gödel demuestra, por un procedimiento que no vamos a ver, que esta última proposición es demostrable dentro de la aritmética.
Ahora podemos demostrar que A no es demostrable dado que si lo fuese, también sería demostrable G, y eso no puede ser salvo que creemos una inconsistencia, como ya hemos visto en II; por tanto aceptamos que si la aritmética es consistente entonces A no es demostrable. Es decir, si la aritmética es consistente entonces es indemostrable.
Las implicaciones de este teorema las explicaremos en otro artículo, para no alargarnos mucho.
Espero no haberos liado mucho la cabeza…