Seguimos con los prerrequisitos para entender el proyecto de la Inteligencia Artificial. Quizá sea necesario repasarse la primera parte del artículo. «La conciencia hecha software o el sueño de la razón»

Los toques de atención.

Bueno, según hemos visto en el post anterior a finales del siglo XIX y principios del XX resulta que los filósofos, los matemáticos y los científicos estaban más o menos de acuerdo en que si bien todos los problemas formulables por el hombre no se habían podido resolver todavía, faltaba muy poco para ello.

Un tal Peano había sido capaz de crear una Teoría axiomática de la aritmética, y con ello de reducir toda la matemática que se conocía hasta entonces a unos pocos principios que, una vez puestos a funcionar, gracias a una maquinaria lógica, producían verdades matemáticas, y no sólo algunas, sino que se suponía que podía producir todas las verdades matemáticas que se conocían entonces. Ya sabemos que Euclides había hecho algo similar con la geometría. Así las cosas todo parecía ir viento en popa. La comprensión y explicación lógica del mundo estaban a la mano. Quizá faltaban unos pocos retoques para dar por terminado el asunto y luego… a otra cosa mariposa.

Hasta tal punto parecía que sólo faltaban unos pocos retoques que en 1900 un profesor prusiano de la Universidad de Göttingen{.mw-redirect} llamado Hilbert acude a un congreso Internacional de matemáticas y se pone a recapitular esos retoques que quedaban pendientes; era como si estuviera dando el último impulso, «Venga, sólo nos queda esto por resolver y ya está» esos retoques eran… pues ¡Sólo 23! Son los 23 Problemas de Hilbert.

En este momento y en este contexto es donde puede llegar a tener sentido una pregunta como «¿es posible axiomatizar toda la física?» (Problema nº 6) No sé si os podéis dar cuenta de todo lo que ello significaría, simplemente que todo el conocimiento posible sobre cualquier cosa (al menos si aceptamos la tesis de Sheldom), desde la partícula más insignificante hasta las mayores y más lejanas galaxias se podría reducir a un conjunto limitado de ideas ciertas (axiomas) y a un procedimiento de cálculo, no habría más discusiones ni disputas, todo sería transparente como una operación de la aritmética «1+1=2». Sería la quintaesencia del conocimiento, algo así como la piedra filosofal… Pero algo no iba bien…

En 1868 por un efecto colateral de la demostración de la independencia del 5º axioma de la geometría de Euclides, se da un pequeño toque de atención a este programa tan ambicioso. La independencia del 5º axioma se demostró proponiendo una (en realidad dos) nueva teoría axiomática identica a la de Euclides sólo que en ella se modifica ese 5º axioma; negándolo… ¿el resultado?… Veamos, lo lógico sería que al negar ese axioma aparecieran contradicciones en la teoría… El 5º axioma venía a decir algo así como que por un punto externo a una linea recta, sólo pasa una única recta que sea paralela a la anterior; podemos negarlo diciendo que por un punto externo a una linea recta, no pasa ninguna recta que sea paralela a la anterior; pues bien, con ello no sólo no se obtiene ninguna contradicción sino que obtenemos una Teoría perfectamente coherente, y… por tanto, ¡Lógicamente posible!… La pregunta es ¿entonces,** si es lógicamente posible es también físicamente posible?** Porque no hemos quedado que el mundo se comporta lógicamente… ¿Acaso hay otros mundos con ese tipo de geometría?…Y entonces es cuando uno empieza a pensar en infinitos mundos posibles, en los agujeros negros y en mundos en la quinta dimensión etc… Quizá sea un problema análogo al de las 11 dimensiones de la Teoría M.

Bueno, esto fue considerado como una nimiedad, una mera anécdota, algo curioso con lo que jugar a la ciencia ficción, nada importante, se suposo que era lógicamente posible pero no físicamente posible, resulta que la lógica tiene capacidad expresiva para decir también lo imposible; no todo lo que es lógico es necesario; pero todavía salvamos el proyecto si lo necesario es necesariamente lógico. Pero el caso es que a partir de aquí el edificio se irá desmoronando poco a poco…

Algo después, en 1874 un tal George Cantor, se dio de bruces, nunca mejor dicho, con una curiosa verdad matemática que le llevó a la depresión y casi a la locura… Cantor es probablemente uno de los padres de la matemática moderna, sobre todo en la fundamentación de la misma con su «Teoría de conjuntos» la cual probablemente muchos ya conoceréis. El pobre George admitió que había conjuntos de números que tenían infinitos miembros. Eso era ya extraño porque ¿existe realmente el infinito? ¿o es sólo una hipótesis matemática como la de la recta que no tiene ninguna paralela que pase por un punto externo? ¿se trata, otra vez, de un juego matemático? Dejemos esta cuestión de momento… Todos hemos dicho alguna vez, en esas luchas infantiles… «¡Yo soy hasta mil millones de veces más fuerte que tu!» contestado fácilmente con un… «¡Pues yo infinitas vecs!» Si lo pensamos bien contestar algo como «Pues entonces yo infinitas veces infinito» no nos solucionaría el problema, porque multiplicar infinito por infinito es igual a infinito. Es decir, si hay infinitos miembros en el conjunto A y hay infinitos miembros en el conjunto B, no podemos decir que A sea mayor que B, ni viceversa ¿no es así? Pero aunque sumemos A más B tendremos un conjunto AB que tendrá exactamente infinitos miembros y por tanto no tendrá ni más ni menos elementos que los anteriores, será igual de grande. Y esta es la razón de que el conjunto de los números pares tenga el mismo número de miembros (o cardinalidad) que el conjunto de los números naturales; es decir, infinitos miembros… Hasta aquí bien ¿no? 🙂 Claro, esto ya es bastante raro si queremos que las matemáticas hablen de nuestro mundo; pero es que la cosa aún es peor…

¿Que pasaría si os digo que existen conjuntos de números que tienen un número de miembros superior a infinito?…. Bueno, como mínimo me tildáis de tonto, loco, o sinvergüenza. Si, por otro lado, me creéis; igual os da un cortocircuíto cerebral, o algo por el estilo… Pues imaginad, lo que pensarían los contemporaneos del pobre Cantor, cuando en pleno éxtasis matemático afirmó exactamente esto…

La afirmación de Cantor venía a ser como si un Lord de los comunes empezara a gritar en medio de la asamblea «¡Hasta el infinito y más allá!» Es decir, pensaron que estaba como mínimo equivocado, aunque para ser más exactos verdaderamente pensaron que estaba como una cabra… Pero el caso es que Cantor demostró que existían infinitos más grandes que otros, y hubo gente que entendió esta demostración; (si os interesa la demostración, leed ¿Podemos listar el infinito?) aunque hubo gente que ni se preocupó de entenderla… La demostración se basa en la siguiente idea:

Para saber si un conjunto tiene más elementos que otro (es decir, es más grande que otro) tenemos que contar cuantos elementos tiene. Para eso nos basta con asociar un número y sólo uno a cada cosa de ese conjunto, sin repetir ninguna, claro está, y sin dejarnos ninguna sin enumerar. Bien, pues dado que tenemos infinitos números naturales; en teoría podríamos enumerar un conjunto de infinitos miembros… ¿Obvio, verdad? Pero ¿Qué pasaría si nos encontraramos con un conjunto que no pudiéramos enumerar? La única razón posible para ello sería que tiene más de infinitos miembros, y entonces los números naturales no nos llegan para enumerar… nos faltan. En este caso existiría un conjunto con una cardinalidad superior a infinito. Pues resulta que Cantor demostró que no se podía enumerar el intervalo que va entre 0 y 1, es decir, que no se podían enumerar los números Reales.

Si, ya sé que parece extraño y que parece que debe haber algo mal en el razonamiento… esa es la sensación; y eso que hoy en día estamos acostumbrados a la ciencia ficción, imagináos en 1874… Esta afirmación era extraña, aunque sólo fuera por lo del infinito de los números naturales, pero eso de la transinfinitud era demasiado para el body… Bueno, tonterías de un loco; pensarían, nosotros sigamos a lo nuestro…

La siguiente bofetada fue en torno a 1900; se la llevó Frege,  del que ya hablamos la vez pasada, y nada más y nada menos que por parte de un alumno al que estimaba bastante; ese alumno se llamaba Bertand Russell.

Como sabemos Frege, había intentado construir un lenguaje que fuera la expresión pura del pensamiento, una conceptografía; y aunque no lo hayamos dicho, Frege se había basado en la «Teoría de conjuntos» de Cantor para esta tarea…

Al poco de terminar su obra, llamada Leyes fundamentales de la aritmética, se la envió a Bertrand, para que le diera su opinión; quizá simplemente fue algo que hacen normalmente los maestros con sus alumnos… El caso es que el pobre Frege, justo cuando la que el consideraba su obra cumbre, estaba en la imprenta; recibió una carta de su querido alumno, que en tono muy afectuoso, y con ese deje cuidadoso del que habla con un maestro, le decía que ya había leído su libro, que le había parecido muy bien… pero… que había encontrado un problemilla que era extensible a toda la teoría de conjuntos… ¿lo vemos?

Russell se entretenía creando conjuntos de cualquier cosa, la verdad, debía ser un hombre aburrido, hay gente que busca matrículas capicúas en los coches, otros hacen cosas más raras todavía, y a Russell se le daba por pensar, por ejemplo ¿Cuales serán las propiedades del conjunto de todas las cucharillas de té? ¿Y las del conjunto de todo lo que no son cucharillas de té? Bueno, un conjunto de cucharillas de té sería interesante y musical, pero muy uniforme, sólo habría cucharrillas; quizá hubiera cucharillas con distintos adornos e incluso de distintos materiales, pero a fin de cuentas sólo cucharillas. Sin embargo el conjunto de todo lo que no es una cucharilla de té evidentemente no tendría ninguna cucharilla, pero tendría todo lo demás; habría pues… caballos, seres humanos, libros, árboles, tazas de té, quizá Hale Berry… Sin duda un conjunto mucho más entretenido… Pero sería un conjunto muy desordenado. ¿Podemos ordenarlo?… El caso es que se dio cuenta de que incluso este conjunto podría tener dentro de si mismo otros conjuntos, eso sería mucho mejor para ordenar el asunto… No vamos a mezclar churras con merinas; mejor tener el conjunto de todos los seres humanos, el conjunto de todos los caballos, el conjunto de todos los libros… Pero, y aquí tenemos que reconocer que Russel se vino arriba ¿Y el conjunto de todas las cosas que no son cucharillas? Bueno, evidentemente el conjunto de todas las cosas que no son cucharillas es un conjunto y no es una cucharilla; luego quizá debería estar incluído dentro de el conjunto de todas las cosas que no son una cucharilla… En realidad estamos preguntando ¿este conjunto se contiene a sí mismo o no? Sé que es una pregunta absurda y que no lleva a ninguna parte, pero vamos a dejar el bueno de Russel con sus manías, es una pregunta adecuadamente formulada y que ha de tener una respuesta, si estás leyendo esto es que no tienes otra cosa mejor que hacer así que ¿Tu que crees? Russell pensó que sí, y que además era bastante claro que este era un conjunto se contenía a sí mismo; mientras que el conjunto de todas las cucharillas de té, (que evidentemente no es una cucharilla) no se contiene a si mismo.

Bueno y ya que estamos, podemos emocionarnos más y más y empezar a crear conjuntos y conjuntos de conjuntos y conjuntos de conjuntos de conjuntos y… Y al final podremos hacer dos grandes conjuntos de conjuntos o metaconjuntos, si ustedes lo prefieren; los conjuntos que se contienen a si mismos, y los conjuntos que no se contienen a si mismos… No parece que exista una tercera posibilidad ¿no es verdad? Ahora bien, si no hay tercera posibilidad, y ambos son conjuntos, entonces… ¿Podemos crear un único conjunto?, ¿Pero a cual? ¡Oh… Ser o no ser, este si que es el dilema!

Empecemos por decidir a qué conjunto pertenece ese gigantesco conjunto que contiene todos los conjuntos que no se contienen a si mismos; al que por cierto podemos llamar conjunto R,  pues bien este conjunto debe pertenecer a alguno de los dos,

… Si R perteneciera a R, es decir, perteneciera al conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a si mismos y sólamente a estos, entonces sucedería que R pertenecería a si mismo… (puesto que sería el caso de que R pertenece a R) pero eso no puede ser porque entonces debería dejar de pertenecer al conjunto de los conjuntos que no se pertenecen a si mismos, el cual es precisamente R es decir, R no puede pertenecer a R. Parece por tanto que R no pertenece a R… Pero si no pertenece a R entonces es que no se incluye a sí mismo luego debería pertenecer a R (que es precisamente el metaconjunto de los conjuntos que no se pertenecen a si mismos) Pero si esto fuera así… R pertenecería a R… vuelva por favor al principio del párrafo…

Aunque es verdad que este lío lo ha creado Russell; en realidad el sistema de Frege no lo evita; y si el sistema de Frege, que pretendía ser el lenguaje del pensamiento no puede evitar semejante circularidad, sencillamente no nos vale para nada. Porque lo que queríamos era crear una mente autónoma, que sólo precisara de si misma para funcionar. Con el sistema de Frege lo que obtendríamos es una mente que podemos confundir con juegos tan sencillos como los que Russell presentó. Y tenerle leyendo el párrafo anterior una y otra vez así hasta el fin de los días (afortunadamente no parece que tu mente funcione así, sino no estarías leyendo esto…)

Dejamos para el próximo artículo la estacada final a este proyecto; dada por un jovencito Gödel.

 

(en la foto Bentrand Russell, extraída de la Wikipedia)